Die Sopranistin begann ihre musikalische Ausbildung als Siebenjährige mit Violoncello-Unterricht. Nach dem Abitur studierte sie das Instrument am Conservatorio Superior de Música de Navarra (Pamplona) und absolvierte eine Ausbildung in klassischem Gesang am Conservatorio Profesional de Música de Pamplona. Nach Beendigung ihrer Studien in Spanien erhielt Elizaga Gómez 2016 einen Platz an der Hochschule für Musik „Franz Liszt“ Weimar in der Klasse von Elisabeth Scholl. Um weiter mit ihrer Professorin zu arbeiten, setzte sie dieses Studium an der Hochschule für Musik Mainz fort, das sie 2023 mit Bestnote abschloss.

Elizaga Gómez sang in diversen Chören, wie zum Beispiel dem Orfeón Pamplonés und dem Joven Coro de la Comunidad de Madrid. Opernerfahrung sammelte sie als Spirit in „Dido und Aeneas“ sowie in den Rollen der Susanna in „Le nozze di Figaro“, Marquesita del Bierzo in „El Barberillo de Lavapiés“ und Annio in „La Clemenza di Tito“. 2018 war sie bei der Markus-Passion von A. G. Homilius und bei der „Missa Salisburgensis“ im Rahmen des Rhein-Vokal-Festivals als Solistin zu erleben. Elizaga Gómez war 2019 Solistin des 14. Tehillim-Psalmen-Konzerts in Frankfurt am Main, im gleichen Jahr sang sie eine Solopartie in Händels „Saul“ unter der Leitung von Ralf Otto. Von 2019 bis 2021 erhielt Elizaga Gómez das Deutschland-Stipendium. Beim Heinz Frankenbach Preis 2020 wurde sie mit einem Förderpreis ausgezeichnet und konnte beim Abschlusskonzert „Concerti Sacri“ der Internationalen Musiktage Wörrstädter Land als Solistin an der Seite von Elisabeth Scholl und dem ehemaligen Thomaskantor Gotthold Schwarz auftreten. 2022 war die Sängerin Mitglied der Balthasar-Neumann-Chorakademie und bekam das Neustart Kultur-Stipendium für ein Liederabendprogramm, in dem sie in Deutschland wenig bekannte spanische Kunstlieder präsentierte. 2023 trat die Sopranistin in Rossinis „Petite Messe Solennelle“ und in Mendelssohns „Elias“ als Solistin auf. Von 2021 bis 2023 war sie Teil des Jungen Ensembles des Staatstheaters Mainz und von 2020 bis 2023 Ensemblemitglied der Gutenberg Soloists, welche erstmals Telemanns gesamten französischen Kantatenjahrgang auf CD aufnehmen. Seit 2023 ist Elizaga Gómez als Chorsängerin am Theater Pforzheim engagiert.